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Por qué el 6 es un número perfecto pero el 7 definitivamente no
Lo dijo Euclides y lo han confirmado los más grandes matemáticos... pero no deja de ser un misterio.
Uno sí es perfecto, el otro, no. Foto: BBC
No todos pueden serlo pero el 6 es un número perfecto.
Lo sabemos desde hace 2 mil 300 años, que es considerablemente más tiempo que la gran mayoría de los otros 50 miembros conocidos del exclusivo club.
¿Por qué es perfecto?
Porque 6 = 1 + 2 + 3
Los números perfectos son aquellos iguales a la suma de sus divisores: 6 se puede dividir por 1, 2 y 3, y cuando sumas esos números, el resultado es 6.
La historia de los números perfectos forma parte de una de las más antiguas y fascinantes ramas de las matemáticas: la teoría de los números.
El primero en referirse a ellos fue nada menos que Euclides, en su influyente obra "Los elementos", publicada en el año 300 a.C.
Había descubierto cuatro números perfectos, y en su libro revelaba una forma segura de hallar otros. Segura, aunque difícil y laboriosa.
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Si te da curiosidad saber cuál era la fórmula, aquí va. Si no, sáltate lo que está entre las líneas verdes.
Esto es, paso a paso, lo que dijo:
"Si cualquier multitud de números se establece continuamente en doble proporción..."
Es decir, por ejemplo, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64...
"...(empezando) desde una unidad, hasta que toda la suma sumada se convierte en prima.."
Así que sumemos hasta llegar a un número primo (divisible sólo por 1 y sí mismo)
1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31
"... y la suma multiplicada por el último (número) hace algún (número), entonces el (número así) creado será perfecto".
Entonces, la suma se multiplica por el último número de la secuencia: 31 x16 = 496... y el resultado debe ser un número perfecto.
¿Lo es?
496 puede dividirse por 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 y 248. Si los sumamos, el resultado es 496 así que, efectivamente, es un número perfecto.
Euclides no sólo dejó cuatro de esos selectos números -6, 28, 496 y 8128- sino que inspiró a las siguientes generaciones de matemáticos a continuar la búsqueda.
La larga búsqueda. Pasarían más de 1750 años antes de que se identificara otro número perfecto.
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Antes de eso, otro el matemático griego, el neopitagórico Nicómaco de Gerasa (c.60-c.120 d.C) les confirió un carácter más místico.
Divinos
En su "Introducción a la aritmética", Nicómaco hizo una clasificación de los números que incluía los perfectos, y ponía en su lugar a los demás.
Los perfectos ya los había definido Euclides, pero si la suma de los divisores daba más, eran abundantes; si daba menos, deficientes.
Pero no se limitó a darles nombres: los números quizás habían sido creados iguales pero para Nicómaco algunos eran más iguales que los otros.
Cuando hay demasiado, dijo, "se produce exceso, superfluidad, exageraciones y abusos; en el caso de muy poco, se producen deseos, impagos, privaciones e insuficiencias".
El contraste con estar en igualdad era abismal.
"Se produce virtud, justa medida, decoro, belleza y cosas por el estilo, de las cuales la más ejemplar es ese tipo de número que se llama perfecto".
Su clasificación dejó huella. Los números perfectos se volvieron, al menos por un tiempo, divinos.
Miles de cálculos más tarde...
En 1456, alguien registró en un manuscrito medieval otro número perfecto: 33550336.
Y en 1588, el matemático italiano Pietro Antonio Cataldi encontró otros dos: 8589869056 y 137438691328.
¡Te imaginas la cantidad de trabajo que les debe haber costado lograrlo sin computador!
Es impresionante... y el 8º número perfecto que sería descubierto dos siglos más tarde, aún más.
Fue identificado nada menos que por el grandioso Leonhard Euler en 1772, tenía 19 dígitos y, según el matemático inglés del siglo XIX Peter Barlow, era "probablemente el más grande que jamás se vaya a descubrir".
Estaba equivocado.
Dos décadas después de su muerte, se encontró el 9º y, gracias a los avances en la tecnología y en la teoría de los números. Los plazos entre uno y otro descubrimiento se fueron acortando al punto que en este milenio se han ido encontrando casi uno al año.
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Ahora conocemos un total de 51 números perfectos. El más reciente tiene 49.724.095 dígitos.
El elusivo impar
Si los vieras todos, notarías que sin excepción son pares.
Eso dio a luz a uno de los más antiguos misterios de las matemáticas: la conjetura de los números perfectos impares.
Una conjetura es una regla que nunca ha sido probada, en este caso sería algo así como "todos los números perfectos son pares".
Eso es algo que no podremos afirmar hasta que se resuelva la gran pregunta que se han hecho matemáticos desde René Descartes en el siglo XVII hasta el noruego Øystein Ore en el siglo XX es: ¿existen números perfectos impares?
Varias mentes brillantes han avanzado en la búsqueda de la respuesta.
No obstante, lo único que sabemos hasta ahora es que si los hay deben ser mayores que 10³⁰⁰, pues la conjetura ha sido verificada computacionalmente hasta esa cantidad sin encontrar ninguno.
Pero, a fin de cuentas...
¿Para qué sirven?
Dada la talla y la cantidad de luminarias del mundo matemático que le ha dedicado tiempo y materia gris a los números perfectos quizás es natural preguntarse cuál es su importancia.
Y nada más grato que encontrarse con una magnífica respuesta, como la que dio David E. Joyce, profesor de Matemáticas e Informática de la Universidad de Clark, en el portal Quora.
"Los criterios tradicionales de importancia en la teoría de números son estéticos e históricos. Lo que la gente considera importante es lo que le interesa. Eso difiere de persona a persona", dice.
En pocas palabras, son importantes porque son interesantes... ¡qué mejor razón! Y si has leído hasta aquí, probablemente estás de acuerdo.
Además, una de las cosas más fascinantes de las matemáticas es que a menudo nos revela maravillas que sólo con el tiempo llegamos a comprender.
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